2020年青海公务员考试行测备考：谈谈插值法法应用条件

2019-11-13 13:56:09 公务员考试网 https://www.huatu.com/ 文章来源：未知

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　　目前数量关系不定方程组中，出现了一个问题。有老师发现做“不定方程组求整体”这类问题的时候，采用插值法得不到正确答案。很多数资老师在询问，就是不定方程组中，插值法到底什么时候能用，什么时候不能用。

　　其实关于这个问题，是完全可以使用线性代数的知识进行解答的。但是考虑到很多老师早都已经忘记里面的相关内容，或者可能根本就没学过。所以这边采用一种非常易于理解的方式来回答这个问题。

　　以这个题目为例

　　【例 1】甲买了3 支签字笔、7 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 32 元，乙买了 4 支同样的签字笔、10 支圆珠笔和 1 支铅笔，共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

　　A. 21 元 B. 11 元

　　C. 10 元 D. 17 元

　　【答案】 C

　　对于这个例题，可以采用配系数法。实际上这个题目还有一种解法，叫做换元法。换元法具体是这样解题的：设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为 x、y、z 元，得到不定方程组 3x+7y+z=32、4x+10y+z=43。将两式进行变形得到(x+y+z)+2(x+3y)=32、 (x+y+z)+3(x+3y)=43。令 a=x+y+z、b=x+3y，可得 a+2b=32、a+3b=43，解得 a=10、b=11。

　　因此，选择 C 选项。

　　根据换元法的解题过程，经过换元之后，大家会发现最终形成的是一个二元一次方程组。

　　这种方程是有唯一解的。a 的值是唯一且确定的，也就意味着 x+y+z 的值是唯一确定的。因此，无论 x、y、z 的值如何取，都不会影响最终的结果(注意与 x、y、z 是不是一定要取整数无关)，所以我们可以采用插值法。

　　而对于不能采用插值法的不定方程组求整体类的问题，则无法通过换元形成二元一次方程组。

　　【例 2】某次数学竞赛准备了 22 支铅笔作为一、二、三等奖的奖品，原计划一等奖每人发 6 支，二等奖每人发 3 支，三等奖每人发 2 支。后来又改为一等奖每人发 9 支，二等奖每人发 4 支，三等奖每人发 1 支。问有多少人获奖?

　　A. 21 元 B. 11 元

　　C. 10 元 D. 17 元

　　设一、二、三等奖的人数分别为 x、y、z 人，得到不定方程组 6x+3y+2z=22、9x+4y+z=22。

　　同样的，我们尝试一下换元法，将两式进行变形得到 2(x+y+z)+(4x+y)=22、(x+y+z)+(8x+3y)=22，无法使用换元法。其实也就意味着在这个问题中，由于系数设置的原因，x+y+z 不能取得唯一确定解。因此如果使用插值法，只能得到一组特殊解。若这组特殊解不能满足题中隐藏的特定条件(比如求最值、未知数必须为整数等)，则会导致题目无答案、甚至选错答案。

　　综上所述，如果能够利用换元法，则必然能够用插值法。若无法使用换元法，则无法使用插值法。当然本质上还是因为线性代数中行列式的秩，也就是自由度。不过用这种方式解释可以较为容易理解。

（编辑：青海华图）

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