几何中的最短路径问题-2022年考试行测解题技巧

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　　最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离，核心解题方法为平面上两点之间，线段最短。在考试中最短路径问题主要分为两大类，平面几何最短路径与立体几何最短路径。虽然题目有多种问法，但万变不离其宗，只要知识点掌握牢固、能够融会贯通，无论如何创新如何结合，我们都可以熟练解决。

　　【解题思路】如图所示，根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知，A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形，且AB为底边。过点C做AB的中垂线，交AB于点D。根据勾股定理可得，CD=a，AD=a，则AB=2AD=a，正确答案为D。

　　【点评】公务员考试中，三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。因此建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本题若变形为C火车站正东建立新火车站D，求AB两点到D距离之和最短，因三点共线时距离之和最短，直接连接AB即为最短距离和。

　　2.两点同侧

　　题型特征：求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和

　　解题方法：将其中一点镜像对称，使三点共线

　　例1.【2019浙江】 A、B点和墙的位置如图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点?

　　A. 30

　　B. 34

　　C. 38

　　D. 42

　　【解题思路】要用最短时间到达B点，在速度一定的情况下，需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图，由于A和B在墙的同侧，可考虑做其中一个点关于墙的对称点，该对称点与另一个点的连线即为最短路程。假设做A点的对称点C，最短距离为BC。CD=90米，BD=30+45+45=120米，最短距离BC==150米，则t==30秒,正确答案为A。

　　【点评】先判断为同侧问题，需要作其中一点的对称点，再连接另外一点，用勾股定理求解。两点同侧时，对称哪一个点都可以，但是一般为了计算方便，建议对称短的那一个。

　　例2.【2017联考】如下图所示，某条河流一侧有A.、B.两家工厂，与河岸的距离分别为4km和5km，且A.与B.的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接A.、B.两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：

　　A. 12km

　　B. 13km

　　C. 14km

　　D. 15km

　　【点评】本题中题目AB为河流一侧，因此为两点同侧。提醒大家注意，若以河为对称轴，求的点为交点，此时污水处理厂建在河里，因此此题的对称轴是第三个点所在的水平线，过C作一条沿河岸的平行线，轴距离河岸为1km。计算时若忽略了这一点，将无法求解正确答案。

　　立体几何最短路径问题

　　题型特征：求立体图形中两点的最短距离

　　解题方法：将立体图形展开放在同一平面，连线计算

　　A. 2

　　B. 3

　　C. 6

　　D. 12

　　【解题思路】正方体有3组对立面，如图可知每一条路线在对立面上都有一条与之对应的路线，因此每组对立面有2条路线，3组对立面共6条路线，正确答案为C。