2022年教师资格证 笔试 不定积分的常用解题技巧(二)

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　　不定积分的常用解题技巧(二)

　　作为高等数学的基本内容之一的不定积分，它是以基本积分表为基础的，即使再复杂的函数也要通过一定的运算法则，化为具有表中函数的积分。而这一解题过程具有较强的技巧性，这就给学生学习带来了一定的困难。为了突破这一难点，华图教师针对不定积分的一些常用技巧进行了如下的总结。

　　1.三角代换法

　　以三角式代换从而消去二次根式的方法。根据被积函数的根式类型，常用的变换如下：

　　(1)被积函数中含有，令x=asint或x=acost;

　　(2)被积函数中含有，令x=atant或x=acott;

　　(3)被积函数中含有，令x=asect或x=acsct。

　　例题1：求

　　解析：令，则。

　　(或)

　　(万能公式，又时，)

　　例题2：求

　　解析：令，则。

　　(时，)

　　2.倒代法

　　对于某些被积函数，若分母中含有因子时，可做倒代换，即令：，从而

　　可得出积分。一般在有理分式函数中分母的阶数较高时使用。

　　例题：求

　　解析：令，则，所以

　　原式

　　。

　　3.去根号法

　　(1)当被积函数中仅有一种简单根式时，可以令t等于该根式进行代换。根式有理化是化简不定积分的常用方法。

　　(2)当被积函数中含有与时，可令;其中k为m，n的最小公倍数。

　　例题：求

　　解析：令，则，所以

　　。

　　4.分部积分法

　　设函数均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得：，或者;两边积分得：

　　称这个公式为分部积分公式。

　　分部积分注意事项：

　　(1)v要容易求得。

　　(2)要比容易积出。

　　(3)如果被积函数是幂函数和正(余)弦函数或者幂函数与指数函数的乘积，可以考虑分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分就可以使得幂函数的幂次降低一次。

　　(4)如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，可以考虑用分部积分法，并设对数函数或者反三角函数为u。

　　例题1：求

　　解析：令，那么。

　　例题2：求

　　解析：

　　。

　　以上就是华图教师团队对教师笔试考试中求不定积分的常见题型的解题技巧的综合分析，希望能够对广大考生复习备考有所帮助。当考生遇到不定积分的题目时，应先分析题目结构，然后选择最方便求解的方法。

　　最后，华图教师祝您乘华图翅膀，早日圆教师梦!

（编辑：lilian）