一元二次函数求极值

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　　很多考生在行测数量关系学习过程中可能都会接触到这么一类看似熟悉但又陌生的问题——一元二次函数求极值。今天给大家介绍一下什么是一元二次函数?一元二次函数又该如何去求解极值?

　　一、什么是一元二次函数

　　一元二次函数的基本表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。其图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。当a>0时，函数图像开口向上，此时y有最小值;当a<0时，函数图像开口向下，此时y有最大值。

　　二、一元二次函数极值的求解方法

　　方法一：利用一元二次函数顶点公式求解

　　对于一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，其顶点坐标为也就是当

　　方法二：利用“和定、差小、积大”求解

　　“和定、差小、积大”是指若两个式子的和为定值，两个式子间的差越小(最小为0)，则两个式子的乘积越大。

　　下面我们通过两个例题来看一下这两种方法在解题时应该如何运用。

　　例1、某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是:

　　A.5元 B.6元 C.7元 D.8元

　　【答案】C。解析：

　　方法一，设应降低x元，总利润为y元。则降低后的销售单价为(100-x)元，销量为(120+20x)件，进货单价为80元，则总利润y=(100-x-80)×(120+20x)，整理可得y=-20x2+280x+2400，当y能取到最大值，故本题选C。

　　方法二，设应降低x元，总利润为y元。则降低后的销售单价为(100-x)元，销量为(120+20x)件，进货单价为80元，则总利润y=(100-x-80)×(120+20x)=20×(20-x)×(6+x)，因为(20-x)+(6+x)=26，是定值，当且仅当20-x=6+x，即x=7时，y取最大值。故本题选C。

　　例2、某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖10000株。那么，在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元?

　　A.60 B.80 C.90 D.100

　　【答案】C。解析：

　　方法一，设苗木单价提高0.4x元，则可卖出(20-x)万株，此时收入为y万元，y=(4+0.4x)×(20-x)，整理可得y=-0.4x2+4x+80，此时函数最大值为故本题选C。

　　方法二，设苗木单价提高0.4x元，则可卖出(20-x)万株，此时收入为y万元，y=(4+0.4x)×(20-x)=0.4(10+x)×(20-x)，因为(10+x)+(20-x)=30，是定值，故当且仅当10+x=20-x，即x=5时，y取最大值，收入最大为(4+0.4×5)×(20-5)=6×15=90万元。故本题选C。

　　通过上面两个例题，我们可以看到无论是采用一元二次函数的顶点公式还是采用“和定，差小，积大”的方法都可以解出题目。方法一需要我们将函数整理为一般式;方法二需要我们将函数整理成两式相乘，且两式未知数系数互为相反数的形式，之后再使两式满足“和定、差小”的条件。那么，对于方法各位考生可以选择适合自己的，只要通过练习，达到顺利解题的目的即可。