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数量关系的多集合容斥问题

2024-08-22 16:41:41 公务员考试 https://www.huatu.com/ 文章来源:未知

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  •   数量关系中有些类型的题公式多,变化多,想清楚的掌握这些类型的题需要大量的精力,但是有一些类型的题相对来说方法比较固定,较易掌握, 比如工程问题, 容斥问题 。 今天就给大家介绍关于容斥问题的相关内容 。

      一 、题型特点:题干中出现总人数, 满足A条件的人数,满足B条件的人数,满足C条件的人数,满足AB条件的人数,满足BC的人数,满足AC的人数,满足ABC的人数,总人数等这些量中的部分量,求其中某个未知量。

      二、 解题方法 : 可直接通过公式或画图求解

      二 集合容斥公式 :

      A+B-A∩B=A∪B=总数-都不满足的情况数

      三集合标准型公式:

      A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=A∪B∪C=总数-都不满足的情况数

      三集合非标准型公式:

      A+B+C-只满足两个条件-满足三个条件×2=A∪B∪C=总数-都不满足的情况数

      当题干 中所给的数据不足或所求量非以上公式中的量时,考虑赋值法。

      三、真题感知

      【例 1 】 240 名学生中报文化课辅导班的与未报文化课辅导班的人数比是 5:3 , 报艺术 辅导班的与未报艺术辅导班的人数比是 7:5 ,两类辅导班都报的有 86 人,则两类辅导班都没有报的人数是?

      A.36 人 B.42 人

      C.48 人 D.54 人

      【答案】 A

      【解析】 第一步,本题考 查 二 集合 容斥问题 ,可直接利用公式法求解。

      第二步,根据题干总人数为 2 40 人, 报 文化课辅导班的与未报文化课辅导班的人数比是 5:3 , 报艺术 辅导班的与未报艺术辅导班的人数比是 7:5 。可得报文化 课 辅导班的有 (人), 报 艺术 辅导班的 有 (人)。

      第三步,设 两类辅导班都没有报的人数 为 x ,直接代入公式 1 50+140-86 = 240- x ,解得 x= 36 。

      因此,选择 A 选项。

      上题 是 直接 利用标准公式求解的,接下来我们看一个利用非标准型公式求解的 例题。

      【例 2 】 某专业 55 名同学都报名参加了大学生社团,有 35 人参加了滑冰社, 28 人参加了书法社, 31 人参加了吉他社,以上三个社团都参加的有 6 人,只参加一个社团的有 ( ) 人。

      A.22 B.29

      C.33 D. 5

      【答案】 A

      【解析】 第一步,本题考查三 集合容斥问题 。

      第二步,题干求只参加一个 社团 的 人数,由于没有都不参加的,题干所求即为下图中三个圆中的空白部分 。 图中 ② 表示 只满足 2 种情况的总 人 数 , ③ 表示 同时满足 3 种情况的 人 数 即 6 人 。

      第三步,代入非三集合标准型公式, 35+28+31 - ② - 2 × 6= 55-0 ,得 ② = 27 (人),故所求为 55-27-6 = 22 (人)。

      因此,选择 A 选项。

      相信大家通过这两道 题可以 清楚的 了解到,虽然 容斥问题 中给的数据比较多,但是相对 来说做法 比较固定 , 能用公式的直接套用公式, 不能直接通过公式的结合画图解决 。 因此 大家一定要准确的记忆公式, 这样才能 灵活的运用 到容斥问题 中 。

    (编辑:青海华图)
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