善用一元二次函数解决最大值问题

2024-08-22 15:15:39 公务员考试 https://www.huatu.com/ 文章来源：未知

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　　说起一元二次函数相信大家并不陌生，这让我们回忆起了校园时光，黑板上的抛物线就好像时光一样慢慢流逝。如今我们告别了校园，踏上了公务员的考试征途，再次遇见了熟悉又陌生的一元二次函数。在公务员考试中数量关系会涉及到此类考点，特别是在经济利润问题和几何问题中。而这两类题型是必考题型，大家要稳扎稳打拿高分，那么一元二次函数的应用就必须掌握牢固。

　　【学前启蒙】：首先我们来回忆一下一元二次函数的基本知识，看看下面的函数图像，你还能想起些什么呢?

　　从图像上我们可以得出以下几个信息：

　　① 这是一个开口向下的抛物线，可以取得最大值。

　　② x= x0 是函数的对称轴，在 x = x 0 处函数取得最大值。

　　③ x1、x2分别是函数的两个根，且

　　利用以上基本信息，我们可以快速得到形如y=(x-m)(n-x)的最大值，方法如下：

　　① 分别令 x - m =0， n - x =0，则此函数的两个根分别是 m 、 n。

　　② 当时，函数取得最大值。

　　【课堂学习】：接下来感受一下真题的考查形式，在学习中将知识内化于心。

　　1、经济利润问题统筹类：利润最大化

　　【例】某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件。已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：

　　A.5元 B.6元

　　C.7元 D.8元

　　【答案】 C

　　【解析】第一步，本题考查经济利润问题中的统筹类。

　　第二步，设销售单价降低的金额为 x 元，即降了 x 个1元，则每件利润变为100-80- x =20- x ，销量变为120+20 x 。根据总利润=单件利润 × 销量，则总利润为 (20- x ) (120+20 x ) =20(20- x ) ( 6+ x ) 。分别令20- x =0，6+ x =0，得到此函数的两个根分别为20和-6，那么当时，此函数取得最大值。因此销售单价应降低7元。

　　因此，本题选择 C选项。

　　2、几何问题计算类：面积最大化

　　【例】村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4个小长方形，在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，那么长方形D的最大面积是：

　　A.42平方米 B .49平方米

　　C.64平方米 D .81平方米

　　【答案】 C

　　【解析】第一步，本题考查几何问题中的平面几何计算。

　　第二步，设A的长和宽分别为 x 米、 y 米，由长方形A周长为20米，可得 x + y =10;由长方形B周长为 24米，且长方形B与长方形A的长相同，可得B的长和宽分别为 x 米、 y +2 米 ;由长方形C周长为 28米，且长方形C与长方形A的宽相同，可得C的长和宽分别为 x +4 米、 y 米。那么长方形D的面积S=( x +4)( y +2)=( x +4)(10- x +2)=( x +4)(12- x ) ，分别令 x +4 =0 ，12- x =0，得到此函数的两个根分别是-4和12，那么当时，长方形D的面积最大，此时S= ( 4+4)(12-4)= 64，故长方形D的最大面积为64平方米。

　　因此，本题选择C选项。